Trójkąty
Zadanie 34, sierpień 2018, poziom podstawowy
W trójkącie prostokątnym ACB przyprostokątna AC ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego
w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta ACB.
Odpowiedź
Pole=\(30\)
Rozwiązanie krok po kroku
Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\) promień okręgu wpisanego wyraża się wzorem
\[r=\frac{a+b-c}{2}.\]
Przyjmijmy \(a=\lvert AC\rvert=5\) i oznaczmy drugą przyprostokątną przez \(b\). Z warunku \(r=2\):
\[\frac{5+b-c}{2}=2,\qquad c=b+1.\]
Z twierdzenia Pitagorasa
\[5^2+b^2=(b+1)^2,\qquad 25=2b+1,\qquad b=12,\]
skąd \(c=13\). Warunek trójkąta jest spełniony, bo \(5+12>13\).
Pole:
\[P=\tfrac12\cdot5\cdot12=30.\]
**Odpowiedź.** \(P=30\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – zapisanie zależności wiążącej promień okręgu wpisanego z bokami i wyznaczenie drugiej przyprostokątnej \(b=12\).
**4 pkt** – obliczenie pola \(P=30\).
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 34.
Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
