Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 33, sierpień 2018, poziom podstawowy
Ze zbioru
\[A=\{-3,-2,-1,1,2,3\}\]
losujemy liczbę \(a\), natomiast ze zbioru
\[B=\{-1,0,1,2\}\]
losujemy liczbę \(b\). Te liczby są odpowiednio współczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym funkcji liniowej
\[f(x)=ax+b.\]
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymana funkcja \(f\) jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe.
Odpowiedź
\[P(Z)=\frac18.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich uporządkowanych par \((a,b)\) jest \(6\cdot4=24\). Funkcja jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy \(a>0\), czyli \(a\in\{1,2,3\}\). Jej miejsce zerowe \(x_0=-\frac ba\) jest dodatnie przy \(a>0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(b<0\). W zbiorze \(B\) jedyną taką wartością jest \(b=-1\). Zdarzenia sprzyjające to
\[Z=\{(1,-1),(2,-1),(3,-1)\},\]
więc
\[P(Z)=\frac3{24}=\frac18.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – obliczenie \(P(Z)=\frac18\)
**3 pkt** – podanie \(|\Omega|=24\) i wszystkich trzech par sprzyjających albo warunków \(a\in\{1,2,3\}\), \(b=-1\) oraz \(|Z|=3\)
**2 pkt** – połączenie \(|\Omega|=24\) z warunkiem \(a>0\) albo poprawne wskazanie \(a\in\{1,2,3\}\) i \(b=-1\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(|\Omega|=24\), warunku \(a>0\) albo warunku \(b=-1\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** modelowanie i prawdopodobieństwo - monotoniczność funkcji liniowej, znak miejsca zerowego i klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
