Trójkąty
Zadanie 11, próbna styczeń 2009, poziom podstawowy
Na zewnątrz kwadratu \(ABCD\) na bokach \(AB\) i \(BC\) zbudowano trójkąty równoboczne \(AEB\) i \(BFC\). Uzasadnij, że trójkąt \(DEF\) jest równoboczny.
Odpowiedź
Trójkąt \(DEF\) jest równoboczny.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) oznacza długość boku kwadratu \(ABCD\). Trójkąty \(AEB\) i \(BFC\) są równoboczne o boku \(a\), więc
\[\lvert AE\rvert=\lvert BE\rvert=\lvert BF\rvert=\lvert CF\rvert=a=\lvert AD\rvert=\lvert CD\rvert.\]
Obliczamy kąty przy wierzchołkach \(A\), \(B\) i \(C\). Trójkąty zbudowano na zewnątrz kwadratu, więc
\[\lvert\angle DAE\rvert=\lvert\angle DAB\rvert+\lvert\angle BAE\rvert=90^\circ+60^\circ=150^\circ,\]
\[\lvert\angle DCF\rvert=90^\circ+60^\circ=150^\circ,\]
\[\lvert\angle EBF\rvert=360^\circ-90^\circ-60^\circ-60^\circ=150^\circ.\]
Trójkąty \(DAE\), \(DCF\) i \(EBF\) mają zatem po dwa boki długości \(a\) i równe kąty \(150^\circ\) między nimi, więc są przystające (cecha bok-kąt-bok). Ich trzecie boki są równe:
\[\lvert DE\rvert=\lvert DF\rvert=\lvert EF\rvert,\]
czyli trójkąt \(DEF\) jest równoboczny, co należało uzasadnić.
(Dla porządku: z twierdzenia cosinusów \(\lvert DE\rvert^2=2a^2-2a^2\cos150^\circ=a^2\left(2+\sqrt3\right)\).)
**Odpowiedź.** Trójkąt \(DEF\) jest równoboczny.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**11.1. (1 pkt)** – uzasadnienie, że trójkąty \(DCF\), \(DAE\) i \(EBF\) są równoramienne (wykorzystanie założenia, że \(AB=BC=CD=DA\) i trójkąty \(AEB\) oraz \(BFC\) są równoboczne). (na rysunku zaznaczony punkt \(E\))
**11.2. (1 pkt)** – obliczenie miary kąta \(DAE\) lub \(FCD\): \(\angle DAE=\angle FCD=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}\).
**11.3. (1 pkt)** – obliczenie miary kąta \(EBF\): \(\angle EBF=360^{\circ}-2\cdot 60^{\circ}-90^{\circ}=150^{\circ}\).
**11.4. (1 pkt)** – zapisanie, że trójkąty \(DCF\), \(DAE\) i \(EBF\) są przystające (z cechy przystawania bkb), i wyciągnięcie wniosku o równości boków trójkąta \(DEF\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
