Procenty i oprocentowanie
Zadanie 8, próbna styczeń 2009, poziom podstawowy
Dziadek założył w banku trzyletnią lokatę pieniężną o stałej rocznej stopie procentowej równej \(5\%\) (już po uwzględnieniu podatków i prowizji). Odsetki są kapitalizowane po każdym roku trwania lokaty. Całość środków otrzymanych z banku po zlikwidowaniu lokaty dziadek podzielił równo pomiędzy dziewięcioro wnucząt tak, że każde z dzieci otrzymało \(1029\,\mathrm{zł}\). Oblicz początkową kwotę lokaty.
Odpowiedź
Początkowa kwota lokaty była równa \(8000\,\text{zł}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dziewięcioro wnucząt otrzymało po \(1029\,\text{zł}\), więc dziadek wypłacił z banku
\[9\cdot1029=9261\ \text{zł}.\]
Odsetki są kapitalizowane po każdym roku, więc kapitał rośnie w postępie geometrycznym o ilorazie \(1{,}05\). Po trzech latach kwota początkowa \(K\) urośnie do
\[K\cdot(1{,}05)^3=9261.\]
Ponieważ \((1{,}05)^3=1{,}157625\), otrzymujemy
\[K=\frac{9261}{1{,}157625}=8000.\]
Sprawdzenie: \(8000\cdot1{,}05=8400\), \(8400\cdot1{,}05=8820\), \(8820\cdot1{,}05=9261\).
**Odpowiedź.** Początkowa kwota lokaty wynosiła \(8000\,\text{zł}\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**8.1. (1 pkt)** – obliczenie kapitału końcowego: \(K_{3}=9\cdot 1029=9261\).
**8.2. (1 pkt)** – zapisanie równania z niewiadomą \(K_{0}\) – kapitałem początkowym: \(K_{0}\cdot\left(1+\frac{5}{100}\right)^{3}=9261\).
**8.3. (1 pkt)** – obliczenie kwoty \(K_{0}\): \(8000\) zł.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
