Geometria płaska
Zadanie 20, maj 2026, poziom podstawowy
Na płaszczyźnie dane są cztery proste: \(k\), \(l\), \(m\) oraz \(n\). Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe. Prosta \(m\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach - odpowiednio - \(A\) oraz \(C\). Prosta \(n\) przecina proste \(k\) oraz \(l\) w punktach - odpowiednio - \(D\) oraz \(B\). Odcinki \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\). Ponadto \(\lvert OA\rvert=12\), \(\lvert OB\rvert=6\) oraz \(\lvert OC\rvert=8\) (zobacz rysunek).
Odcinek \(OD\) ma długość
**A.** \(4\)
**B.** \(9\)
**C.** \(10\)
**D.** \(16\)
Podpowiedź
Wykorzystaj podobieństwo trójkątów wyznaczonych przez dwie proste równoległe.
Nasze opracowanie
Kluczowa idea
Trójkąty \(AOD\) i \(COB\) mają równe kąty, więc odpowiadające boki są proporcjonalne.
Rozwiązanie
Z podobieństwa trójkątów \(AOD\) i \(COB\) mamy \[\frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC}=\frac{12}{8}.\] Ponieważ \(OB=6\), otrzymujemy \[OD=6\cdot\frac{12}{8}=9.\] Poprawna jest odpowiedź B.
Sprawdzenie
Stosunek odcinków na obu siecznych jest równy: \(\frac{OA}{OC}=\frac{12}{8}=\frac{9}{6}=\frac{OD}{OB}\).
Odpowiedź
**B.** Z podobieństwa trójkątów \(AOD\) i \(COB\) mamy \(\frac{OD}{OB}=\frac{OA}{OC}=\frac{12}{8}\), więc \(OD=9\).
Rozwiązanie krok po kroku
Proste \(k\) i \(l\) są równoległe, a proste \(m\) i \(n\) są ich siecznymi. Kąty \(AOD\) i \(COB\) są wierzchołkowe, a kąty \(OAD\) i \(OCB\) — naprzemianległe przy prostych równoległych. Trójkąty \(AOD\) i \(COB\) są więc podobne (cecha kąt-kąt).
Z proporcji boków odpowiadających
\[\frac{\lvert OD\rvert}{\lvert OB\rvert}=\frac{\lvert OA\rvert}{\lvert OC\rvert}=\frac{12}{8}=\frac32,\]
skąd
\[\lvert OD\rvert=\tfrac32\cdot6=9.\]
**Odpowiedź.** B. \(9\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.7) Zdający stosuje twierdzenie Talesa.
