Czworokąty
Zadanie 12, maj 2008, poziom rozszerzony
W trójkącie prostokątnym \(ABC\) przyprostokątne mają długości: \(|BC|=9\), \(|CA|=12\). Na boku \(AB\) wybrano punkt \(D\) tak, że odcinki \(BC\) i \(CD\) mają równe długości. Oblicz długość odcinka \(AD\).
Odpowiedź
\[\lvert AD\rvert=4{,}2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny o kącie prostym przy \(C\), więc
\[\lvert AB\rvert=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15.\]
Niech \(H\) będzie spodkiem wysokości poprowadzonej z \(C\) na \(AB\). Z porównania dwóch wzorów na pole trójkąta
\[\tfrac12\cdot9\cdot12=\tfrac12\cdot15\cdot\lvert CH\rvert,\qquad \lvert CH\rvert=\frac{108}{15}=7{,}2.\]
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(BHC\)
\[\lvert BH\rvert=\sqrt{9^2-7{,}2^2}=\sqrt{81-51{,}84}=\sqrt{29{,}16}=5{,}4.\]
Z założenia \(\lvert CD\rvert=\lvert CB\rvert\), więc trójkąt \(BCD\) jest równoramienny, a wysokość \(CH\) opuszczona na jego podstawę \(BD\) dzieli ją na połowy:
\[\lvert BD\rvert=2\lvert BH\rvert=10{,}8.\]
Punkt \(D\) leży na odcinku \(AB\), zatem
\[\lvert AD\rvert=\lvert AB\rvert-\lvert BD\rvert=15-10{,}8=4{,}2.\]
**Odpowiedź.** \(\lvert AD\rvert=4{,}2=\dfrac{21}{5}\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – obliczenie \(\lvert AB\rvert=15\) oraz wysokości \(\lvert CH\rvert=7{,}2\).
**3 pkt** – wykorzystanie równoramienności trójkąta \(BCD\) do wyznaczenia \(\lvert BD\rvert=10{,}8\).
**4 pkt** – obliczenie \(\lvert AD\rvert=4{,}2\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
