Ciągi
Zadanie 3, próbna styczeń 2009, poziom podstawowy
Uzasadnij, że dla każdego \(\alpha\in(0^\circ,90^\circ)\) prawdą jest, że
\[(1+\sin\alpha)\left(\frac1{\cos\alpha}-\tan\alpha\right)=\cos\alpha.\]
Odpowiedź
Tożsamość zachodzi: po skorzystaniu z \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) i z jedynki trygonometrycznej lewa strona redukuje się do \(\cos\alpha\).
Rozwiązanie krok po kroku
Dla \(\alpha\in(0^\circ,90^\circ)\) mamy \(\cos\alpha\ne0\), więc obie strony równości są określone, a \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
Przekształcamy lewą stronę, sprowadzając wyrażenie w nawiasie do wspólnego mianownika:
\[(1+\sin\alpha)\left(\frac1{\cos\alpha}-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)=(1+\sin\alpha)\cdot\frac{1-\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1-\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}.\]
Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) wynika, że \(1-\sin^{2}\alpha=\cos^{2}\alpha\), więc
\[\frac{\cos^{2}\alpha}{\cos\alpha}=\cos\alpha.\]
Otrzymaliśmy prawą stronę równości, co kończy uzasadnienie.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**3.1. (1 pkt)** – wykorzystanie związku \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) w przekształcaniu tożsamości.
**3.2. (1 pkt)** – przekształcenie lewej strony tożsamości do postaci: \(\frac{1-\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}\). Punkt przyznajemy za poprawne wymnożenie nawiasów na dowolnym etapie rozwiązania tego zadania.
**3.3. (1 pkt)** – wykorzystanie związku \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) w przekształcaniu tożsamości.
**3.4. (1 pkt)** – sformułowanie wniosku: „Podana równość jest tożsamością” lub sformułowanie równoważne. Wniosek musi być konsekwencją wykonanych przekształceń.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
