Ciąg geometryczny
Zadanie 11, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom rozszerzony
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) o wyrazach dodatnich taki, że \(a_1=\frac34\), \(a_3=\frac13\). Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź
\[S=\frac94.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z zależności \(a_3=a_1q^2\) otrzymujemy
\[q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{1/3}{3/4}=\frac49.\]
Stąd \(q=-\frac23\) lub \(q=\frac23\). Wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc \(q=\frac23\). Ponieważ \(\lvert q\rvert<1\), szereg jest zbieżny i
\[S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3/4}{1-2/3}=\frac94.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q=\frac23\) i sumy \(S=\frac94\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(q^2=\frac49\) albo ilorazu \(q=\frac23\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu lub rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3. R. Zdający rozpoznaje szeregi geometryczne zbieżne i oblicza ich sumy.
