Zadanie 10 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[m\in(1,+\infty).\]

**Krok \(1\).** Metoda: korzystamy z interpretacji geometrycznej. Ponieważ współczynnik przy \(x^{2}\) jest równy \(m^{2}\gt 0\), parabola ma ramiona skierowane do góry. Ma ona wtedy dwa różne miejsca zerowe w przedziale \((-2,2)\) dokładnie wtedy, gdy jednocześnie: \(\Delta\gt 0\), pierwsza współrzędna wierzchołka \(p\) leży w \((-2,2)\) oraz \(f(-2)\gt 0\) i \(f(2)\gt 0\). **Krok \(2\).** Obliczamy wyróżnik: \[\Delta=(-2m)^{2}-4\cdot m^{2}\cdot(-m+1)=4m^{2}+4m^{3}-4m^{2}=4m^{3}.\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy warunek \(\Delta\gt 0\): \[4m^{3}\gt 0\iff m\gt 0.\] **Krok \(4\).** Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka: \[p=\frac{2m}{2m^{2}}=\frac{1}{m}.\] **Krok \(5\).** Rozwiązujemy warunek \(-2\lt p\lt 2\) przy \(m\gt 0\). Wtedy \(\frac{1}{m}\gt 0\gt -2\), więc lewa nierówność jest spełniona; z prawej mamy \[\frac{1}{m}\lt 2\iff m\gt\frac{1}{2}.\] **Krok \(6\).** Sprawdzamy warunek \(f(-2)\gt 0\): \[f(-2)=4m^{2}+4m-m+1=4m^{2}+3m+1,\qquad \Delta=9-16=-7\lt 0,\] a ponieważ współczynnik przy \(m^{2}\) jest dodatni, \(f(-2)\gt 0\) dla każdego \(m\in\mathbb{R}\). Ten warunek niczego nie odrzuca. **Krok \(7\).** Sprawdzamy warunek \(f(2)\gt 0\): \[f(2)=4m^{2}-4m-m+1=4m^{2}-5m+1=(4m-1)(m-1)\gt 0\iff m\lt\frac{1}{4}\ \text{lub}\ m\gt 1.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy część wspólną wszystkich warunków (przy \(m\neq 0\)): \[m\gt 0\ \text{ i }\ m\gt\frac{1}{2}\ \text{ i }\ \left(m\lt\frac{1}{4}\ \text{lub}\ m\gt 1\right)\iff m\gt 1.\] **Uwaga.** Sam warunek \(\Delta\gt 0\) daje \(m\gt 0\), ale to stanowczo za mało: dla \(m=\frac{3}{4}\) miejsca zerowe istnieją, lecz jedno z nich wypada poza przedziałem \((-2,2)\). Dlatego konieczne są warunki na położenie wierzchołka i na znaki \(f(-2)\), \(f(2)\). **Odpowiedź.** \(m\in(1,+\infty)\).

**Zasady oceniania (dla sposobu I)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **2 pkt** – rozwiązanie trzech spośród warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie wszystkich warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)), 2) \(p>-2\), 3) \(p<2\), 4) \(f(-2)>0\), 5) \(f(2)>0\), ALBO – rozwiązanie jednego z warunków 1) – 5): 1) \(f(p)<0\) (lub \(q<0\), lub \(\Delta>0\)): \(m\in(0,+\infty)\), 2) \(p>-2\): \(m\in\left(-\infty,-\tfrac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), 3) \(p<2\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\tfrac{1}{2},+\infty\right)\), 4) \(f(-2)>0\): \(m\in\mathbb{R}\), 5) \(f(2)>0\): \(m\in\left(-\infty,\tfrac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) – 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków 1) – 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu II)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO – spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **3 pkt** – spełnienie czterech spośród warunków I) – V) określonych w kryterium za 2 punkty ALBO – spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO – spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\), ALBO – spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie \(x_1<x_2\). **2 pkt** – spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) – V): I) wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych \(x_1\) oraz \(x_2\) funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(m\in(0,+\infty)\) i \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\), II) rozwiązanie nierówności \(x_1<2\): \(m\in\left(\tfrac{1}{4},+\infty\right)\), III) rozwiązanie nierówności \(-2<x_1\): \(m\in(0,+\infty)\), IV) rozwiązanie nierówności \(x_2<2\): \(m\in(1,+\infty)\), V) rozwiązanie nierówności \(-2<x_2\): \(m\in(0,+\infty)\), ALBO – spełnienie trzech spośród warunków II) – V). **1 pkt** – wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe: \(m\in(0,+\infty)\) ALBO – wyznaczenie miejsc zerowych funkcji \(f\) w zależności od \(m\): \(x_1=\frac{1-\sqrt{m}}{m}\) oraz \(x_2=\frac{1+\sqrt{m}}{m}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków I) – V) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków I) – V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie. **Zasady oceniania (dla sposobu III)** **5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \((1,+\infty)\). **4 pkt** – rozwiązanie pięciu warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **3 pkt** – rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **2 pkt** – rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie warunków A) – E): A) \(\Delta>0\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\), ALBO – rozwiązanie jednego z warunków A) – E): A) \(\Delta>0\): \(m\in(0,+\infty)\), B) \(x_1+2+x_2+2>0\): \(m\in\left(-\infty,-\tfrac{1}{2}\right)\cup(0,+\infty)\), C) \(x_1\cdot x_2+2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\neq 0\), D) \(2-x_1+2-x_2>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(\tfrac{1}{2},+\infty\right)\), E) \(x_1\cdot x_2-2(x_1+x_2)+4>0\): \(m\in(-\infty,0)\cup\left(0,\tfrac{1}{4}\right)\cup(1,+\infty)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. 2. Jeżeli zdający: a) nie rozwiąże wszystkich warunków A) – E) określonych w kryterium za 1 punkt albo b) podczas rozwiązywania warunków A) – E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy, to może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami […].