Funkcje
Zadanie 11, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), w którym \(|AB|>|CD|\) oraz ramię \(BC\) ma długość \(6\). Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu \(R=5\). Miary kątów \(BAC\) i \(ABC\) tego trapezu spełniają warunek
\[\frac{\sin|\angle BAC|}{\sin|\angle ABC|}=\frac58.\]
**Oblicz pole i obwód trapezu \(ABCD\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[P=\frac{27\,648}{625},\qquad L=27{,}36.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Trapez wpisany w okrąg jest równoramienny. Oznaczmy \(\alpha=\angle BAC\), \(\beta=\angle ABC\), \(a=|AB|\), \(b=|CD|\). Z twierdzenia sinusów w trójkącie \(ABC\):
\[\frac6{\sin\alpha}=2R=10,\qquad\sin\alpha=\frac35,\qquad\cos\alpha=\frac45.\]
Z warunku zadania
\[\sin\beta=\frac85\sin\alpha=\frac{24}{25},\qquad\cos\beta=\frac7{25}.\]
Zatem
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{117}{125}.\]
Ponownie z twierdzenia sinusów:
\[\frac a{\sin(\alpha+\beta)}=10,\qquad a=\frac{234}{25}.\]
Po opuszczeniu wysokości \(CE\) na \(AB\):
\[h=6\sin\beta=\frac{144}{25},\qquad |EB|=6\cos\beta=\frac{42}{25}.\]
Stąd
\[b=a-2|EB|=\frac{234}{25}-2\cdot\frac{42}{25}=6.\]
Pole i obwód trapezu są równe
\[P=\frac{a+b}{2}h=\frac{27\,648}{625},\]
\[L=a+b+2\cdot6=\frac{234}{25}+18=27{,}36.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne pole \(\frac{27\,648}{625}\) i obwód \(27{,}36\)
**4 pkt** – wyznaczenie obu podstaw, wysokości lub jednego z dwóch końcowych wyników
**3 pkt** – wyznaczenie dłuższej podstawy albo wysokości z odpowiednim odcinkiem pomocniczym
**2 pkt** – obliczenie \(\sin(\alpha+\beta)=\frac{117}{125}\), wysokości, odcinka \(EB\) albo przekątnej \(AC\)
**1 pkt** – obliczenie \(\sin\alpha=\frac35\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. stosowanie i tworzenie strategii w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII.R7 i VII.R5 stosowanie twierdzenia sinusów oraz wzorów na funkcje trygonometryczne sumy kątów.
