Funkcje
Zadanie 16, maj 2024, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \(3456\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \(8\sqrt3\).
**a)** Wykaż, że pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]
**b)** Pole \(P\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}\]
dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Odpowiedź
**a)** \(P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}\)
**b)** \(a=8\sqrt3\), a najmniejsze pole wynosi \(1728+96\sqrt3\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Oznaczmy wysokość graniastosłupa przez \(H\). Z warunku objętości
\[3456=\frac{a^2\sqrt3}{4}H\]
otrzymujemy
\[H=\frac{4608\sqrt3}{a^2}.\]
Pole powierzchni całkowitej jest równe
\[P=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+3aH,\]
zatem
\[P(a)=\frac{a^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{a}.\]
**b)** Dla \(a\in(0,8\sqrt3\rangle\) pochodna ma postać
\[P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}.\]
Równanie \(P'(a)=0\) daje \(a^3=13824=24^3\), czyli \(a=24\), ale \(24\notin(0,8\sqrt3\rangle\). Dla całej dziedziny zachodzi \(a<24\), więc \(P'(a)<0\). Funkcja \(P\) jest zatem malejąca i przyjmuje najmniejszą wartość na prawym końcu przedziału, dla
\[a=8\sqrt3.\]
Wtedy
\[P(8\sqrt3)=\frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}{2}+\frac{13824\sqrt3}{8\sqrt3}=96\sqrt3+1728.\]
Klucz i zasady oceniania
**Część a: 2 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**1 pkt** – wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{13824}{a^2\sqrt3}=\frac{4608\sqrt3}{a^2}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
**Część b: 4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(P\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(a=8\sqrt3\), i obliczenie \(P_{\min}=1728+96\sqrt3\)
**3 pkt** – uzasadnienie monotoniczności prowadzące do \(a=8\sqrt3\) albo poprawne wskazanie końca przedziału i obliczenie wartości
**2 pkt** – poprawne rozwiązanie równania \(P'(a)=0\), dającego \(a=24\)
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=a\sqrt3-\frac{13824\sqrt3}{a^2}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
11.6 R) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
