Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, maj 2014, poziom rozszerzony
Z urny zawierającej \(10\) kul ponumerowanych liczbami od \(1\) do \(10\) losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie numerów dwóch pozostałych.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac16.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wszystkich jednakowo prawdopodobnych trzyelementowych podzbiorów zbioru \(\{1,2,\ldots,10\}\) jest
\[|\Omega|=\binom{10}{3}=120.\]
Zdarzeniu sprzyja trójka postaci \(\{a,b,a+b\}\), gdzie \(1\leq a<b\) oraz \(a+b\leq10\). Dla kolejnych wartości największej liczby od \(3\) do \(10\) liczby takich rozkładów wynoszą
\[1,1,2,2,3,3,4,4.\]
Zatem
\[|A|=1+1+2+2+3+3+4+4=20.\]
Wobec tego
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{20}{120}=\frac16.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawne prawdopodobieństwo \(\frac16\)
**3 pkt** – poprawne obliczenie \(|A|=20\) oraz \(|\Omega|=120\), lecz usterka w wyniku końcowym
**2 pkt** – poprawne zliczenie \(20\) zdarzeń sprzyjających
**1 pkt** – zapisanie \(|\Omega|=\binom{10}{3}\) albo poprawny opis trójki \(\{a,b,a+b\}\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający stosuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa i wykorzystuje kombinacje do zliczania wyników losowania.
