Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 12, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[(x-3)\left(x^2+(m-1)x-6m^2+2m\right)=0\]
ma dokładnie dwa rozwiązania.
Odpowiedź
\[m\in\left\{-\frac23,\frac15,\frac32\right\}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Liczba \(x=3\) jest pierwiastkiem pierwszego czynnika. Trójmian
\[x^2+(m-1)x-6m^2+2m\]
ma wyróżnik
\[\Delta=(m-1)^2-4(-6m^2+2m)=(5m-1)^2.\]
Dla \(m=\frac15\) ma on pierwiastek podwójny
\[x_0=\frac{-m+1}{2}=\frac25\neq3,\]
więc całe równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Dla \(m\neq\frac15\) pierwiastki trójmianu są równe
\[x_1=2m,\qquad x_2=-3m+1.\]
Aby łącznie z \(x=3\) otrzymać dokładnie dwa różne rozwiązania, jeden z tych pierwiastków musi być równy \(3\):
\[2m=3\quad\text{lub}\quad -3m+1=3.\]
Stąd \(m=\frac32\) lub \(m=-\frac23\). Ostatecznie
\[m\in\left\{-\frac23,\frac15,\frac32\right\}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i pełny wynik: \(m=-\frac23\), \(m=\frac15\), \(m=\frac32\)
**4 pkt** – rozwiązanie równania otrzymanego po podstawieniu \(x=3\) do trójmianu albo zapisanie pełnej alternatywy przypadków prowadzącej do wyniku
**3 pkt** – wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(2m\) i \(-3m+1\) albo zapisanie równania wynikającego z warunku, że \(3\) jest jego pierwiastkiem
**2 pkt** – otrzymanie \(m=\frac15\) z \(\Delta=0\) i sprawdzenie, że pierwiastek podwójny jest różny od \(3\), albo równoważny etap dla drugiego przypadku
**1 pkt** – rozpoznanie jednego poprawnego przypadku koniecznego do uzyskania dokładnie dwóch rozwiązań albo obliczenie \(m=\frac15\) z \(\Delta=0\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - rozpatrywanie wszystkich przypadków i kontrolowanie liczby różnych rozwiązań.
**Wymagania szczegółowe:**
rozwiązywanie równań wielomianowych z parametrem, analiza wyróżnika trójmianu kwadratowego i krotności pierwiastków.
