Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
W telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów. Uczestnicy losowo zajmują fotele ustawione w rzędzie. Prawdopodobieństwo, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie, jest równe \(\frac{1}{15}\). Oblicz, ilu aktorów bierze udział w programie.
Odpowiedź
W programie bierze udział \(7\) aktorów. Dla n aktorów prawdopodobieństwo, że trzej sportowcy siedzą obok siebie, wynosi \(3\)!(n+\(1\))!/(n+\(3\))!=\(6\)/((n+\(2\))(n+\(3\))). Porównanie z \(\frac{1}{15}\) daje n=\(7\).
Rozwiązanie krok po kroku
Uczestnicy zajmują fotele losowo, więc zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ustawienia uczestników w rzędzie. Niech \(n\) oznacza liczbę aktorów; uczestników jest wtedy \(n+3\), a
\[|\Omega|=(n+3)!.\]
Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że trzej sportowcy siedzą obok siebie. Traktujemy ich jako jeden blok: mamy wtedy \(n+1\) obiektów do ustawienia, co daje \((n+1)!\) ustawień, a wewnątrz bloku sportowców można przestawić na \(3!\) sposobów. Zatem
\[P(A)=\frac{3!\cdot(n+1)!}{(n+3)!}.\]
Skracamy \((n+1)!\), korzystając z \((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!\):
\[P(A)=\frac{6}{(n+2)(n+3)}.\]
Z warunku zadania \(P(A)=\frac1{15}\), więc
\[\frac{6}{(n+2)(n+3)}=\frac1{15},\]
skąd po pomnożeniu na krzyż
\[(n+2)(n+3)=90.\]
Po wymnożeniu otrzymujemy równanie kwadratowe
\[n^2+5n+6=90,\qquad\text{czyli}\qquad n^2+5n-84=0.\]
Rozkładamy lewą stronę na czynniki:
\[(n-7)(n+12)=0,\]
więc \(n=7\) albo \(n=-12\). Liczba aktorów jest nieujemna, zatem \(n=-12\) odrzucamy.
Sprawdzenie: dla \(n=7\) mamy \(\frac{6}{9\cdot10}=\frac6{90}=\frac1{15}\).
**Odpowiedź.** W programie bierze udział \(7\) aktorów.
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy:
• poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń wszystkich uczestników programu, np. \((n+3)!\)
ALBO
• poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok siebie np. \((n+1)\cdot 3!\cdot n!\).
**2 pkt** – gdy poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok siebie, np. \((n+1)\cdot 3!\cdot n!\) lub innym rozumowaniem \(3!\cdot (n+1)!\) oraz liczbę wszystkich rozmieszczeń \((n+3)!\).
**3 pkt** – gdy zapisze równanie \(\frac{6}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{15}\).
**4 pkt** – gdy poprawnie obliczy liczbę aktorów: \(7\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: zliczanie ustawień z wyróżnionym blokiem oraz stosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa.
