Trójkąty
Zadanie 14, czerwiec 2017, poziom rozszerzony
Trapez równoramienny ABCD o ramieniu długości \(6\) jest wpisany w okrąg. Dłuższa podstawa AB ma długość \(12\) i jest średnicą okręgu. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt ABP.
Odpowiedź
Pole koła wynosi (\(252\)−\(144\sqrt{3}\))π. Z geometrii trapezu otrzymujemy kąty α=β=\(30\)°, wysokość trapezu \(3\sqrt{3}\) i podobieństwo trójkątów ABP oraz CDP w skali \(2\). Stąd PO=\(2\sqrt{3}\) i AP=BP=\(4\sqrt{3}\). Pole trójkąta ABP wynosi \(12\sqrt{3}\), więc z zależności P=rs promień okręgu wpisanego jest równy \(12\)−\(6\sqrt{3}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(ADB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy \(AB\), więc trójkąt \(ABD\) jest prostokątny przy \(D\). Stąd
\[\sin\lvert\angle ABD\rvert=\frac{\lvert AD\rvert}{\lvert AB\rvert}=\frac{6}{12}=\frac12,\qquad \lvert\angle ABD\rvert=30^\circ,\qquad \lvert\angle DAB\rvert=60^\circ.\]
Wysokość trapezu:
\[h=\lvert AD\rvert\sin60^\circ=3\sqrt3,\]
a krótsza podstawa
\[\lvert CD\rvert=\lvert AB\rvert-2\lvert AD\rvert\cos60^\circ=12-6=6.\]
Trójkąty \(ABP\) i \(CDP\) są podobne (kąty naprzemianległe przy \(AB\parallel CD\)) w skali \(\frac{12}{6}=2\), więc wysokość trapezu dzieli się w stosunku \(2:1\); odległość \(P\) od \(AB\) wynosi
\[\tfrac23\cdot3\sqrt3=2\sqrt3.\]
Trapez jest równoramienny, więc trójkąt \(ABP\) jest równoramienny o podstawie \(AB=12\):
\[\lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert=\sqrt{6^2+\left(2\sqrt3\right)^2}=\sqrt{48}=4\sqrt3,\qquad P_{ABP}=\tfrac12\cdot12\cdot2\sqrt3=12\sqrt3.\]
Z zależności \(P=r\cdot p\) (pole równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy obwodu):
\[p=\frac{12+4\sqrt3+4\sqrt3}{2}=6+4\sqrt3,\qquad r=\frac{12\sqrt3}{6+4\sqrt3}=12-6\sqrt3.\]
(\(r>0\), bo \(12>6\sqrt3\approx10{,}39\).)
Pole koła wpisanego:
\[P_{k}=\pi r^2=\pi\left(12-6\sqrt3\right)^2=\pi\left(144-144\sqrt3+108\right)=\left(252-144\sqrt3\right)\pi.\]
**Odpowiedź.** \(P_{k}=\left(252-144\sqrt3\right)\pi\)
Klucz i zasady oceniania
**1–2 pkt** – wyznaczenie kątów trapezu i jego wysokości \(3\sqrt3\).
**3–4 pkt** – wyznaczenie \(\lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert=4\sqrt3\) oraz pola trójkąta \(ABP\).
**5 pkt** – wyznaczenie promienia \(r=12-6\sqrt3\).
**6 pkt** – obliczenie pola koła \(\left(252-144\sqrt3\right)\pi\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: stosowanie własności trapezu wpisanego w okrąg, podobieństwa trójkątów oraz zależności między polem trójkąta i promieniem okręgu wpisanego.
