Równania i nierówności z parametrem
Zadanie 15, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Funkcja \(f\) jest określona wzorem
\[f(x)=\frac{m^2+m-6}{m-5}x^2-(m-2)x+m-5\]
dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz całkowite wartości parametru \(m\), dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.
Odpowiedź
\[m=-4.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zakładamy \(m\neq5,-3,2\), aby \(f\) była funkcją kwadratową. Warunek istnienia wartości największej daje
\[\frac{(m+3)(m-2)}{m-5}<0,\qquad m\in(-\infty,-3)\cup(2,5).\]
Dwa różne miejsca zerowe wymagają
\[\Delta=(m-2)^2-4(m+3)(m-2)>0,\]
czyli \(-\frac{14}{3}<m<2\). Jednakowe znaki pierwiastków wymagają dodatniego iloczynu:
\[x_1x_2=\frac{m-5}{(m^2+m-6)/(m-5)}=\frac{(m-5)^2}{(m+3)(m-2)}>0.\]
Po przecięciu warunków otrzymujemy
\[m\in\left(-\frac{14}{3},-3\right).\]
Jedyną liczbą całkowitą w tym przedziale jest \(m=-4\).
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – wyznaczenie \(m=-4\) z kompletem warunków
**5 pkt** – poprawne rozwiązanie trzech nierówności bez końcowego wskazania liczby całkowitej
**4 pkt** – poprawne warunki na znak współczynnika kwadratowego i iloczyn pierwiastków
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie jednej z tych dwóch nierówności i warunek \(\Delta>0\)
**2 pkt** – zapisanie dwóch koniecznych warunków
**1 pkt** – poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\): \(-\frac{14}{3}<m<2\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
funkcja kwadratowa z parametrem, wyróżnik, wzory Viète'a i nierówności wymierne.
