Trygonometria
Zadanie 14, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest trapez \(ABCD\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(8\sqrt3\), jest prostopadła do ramienia \(BC\) i tworzy z dłuższą podstawą \(AB\) tego trapezu kąt o mierze \(30^\circ\). Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość \(4\sqrt5\). Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej \(SD\).
Odpowiedź
\[\frac{8\sqrt5}{5}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równe krawędzie boczne oznaczają, że spodek \(O\) wysokości jest środkiem okręgu opisanego na trapezie. Trapez jest równoramienny, \(O\) jest środkiem \(AB\), a z danych otrzymujemy \(|AD|=|BC|=8\) oraz trójkąt równoboczny \(AOD\), więc \(|OD|=8\). Dla wysokości \(H=|SO|\):
\[H^2+8^2=(4\sqrt5)^2,\qquad H=4.\]
Szukana odległość jest wysokością opuszczoną z \(O\) na przeciwprostokątną \(SD\) w trójkącie prostokątnym \(SOD\):
\[d=\frac{|SO|\cdot|OD|}{|SD|}=\frac{4\cdot8}{4\sqrt5}=\frac{8\sqrt5}{5}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna odległość \(\frac{8\sqrt5}{5}\)
**4 pkt** – poprawna metoda końcowa z drobnym błędem rachunkowym
**3 pkt** – obliczenie wysokości ostrosłupa \(H=4\) i poprawna interpretacja szukanej odległości
**2 pkt** – wyznaczenie \(|BC|=|AD|=8\)
**1 pkt** – rozpoznanie położenia spodka wysokości jako środka okręgu opisanego
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
stereometria, okrąg opisany na trapezie, twierdzenie Pitagorasa i odległość punktu od prostej.
