Stereometria
Zadanie 16, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa \(2\). Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.
Odpowiedź
\[h=\frac{2\sqrt5}{5},\qquad V_{\max}=\frac{32\sqrt5\pi}{375}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) będzie promieniem, a \(l=2-r\) tworzącą. Z twierdzenia Pitagorasa
\[h=\sqrt{l^2-r^2}=2\sqrt{1-r},\qquad 0<r<1.\]
Objętość wynosi
\[V(r)=\frac13\pi r^2h=\frac{2\pi}{3}r^2\sqrt{1-r}.\]
Maksymalizujemy równoważnie \(F(r)=r^4(1-r)\). Mamy
\[F'(r)=r^3(4-5r),\]
więc maksimum w \((0,1)\) występuje dla \(r=\frac45\). Wtedy
\[h=2\sqrt{1-\frac45}=\frac{2\sqrt5}{5},\]
\[V_{\max}=\frac13\pi\left(\frac45\right)^2\frac{2\sqrt5}{5}=\frac{32\sqrt5\pi}{375}.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – poprawna wysokość i największa objętość
**6 pkt** – uzasadnienie maksimum dla \(r=\frac45\)
**5 pkt** – obliczenie punktów krytycznych pochodnej
**4 pkt** – poprawna pochodna funkcji równoważnej \(F(r)=r^4-r^5\)
**3 pkt** – poprawna funkcja objętości i dziedzina \(0<r<1\)
**2 pkt** – zapisanie \(V(r)=\frac{2\pi}{3}r^2\sqrt{1-r}\)
**1 pkt** – wyznaczenie \(h=2\sqrt{1-r}\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
stereometria, modelowanie objętości stożka oraz optymalizacja z użyciem pochodnej.
