Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 33, maj 2019, poziom podstawowy
Dany jest punkt \(A = (-18, 10)\). Prosta o równaniu \(y = 3x\) jest symetralną odcinka AB. Wyznacz współrzędne punktu B.
Odpowiedź
\[B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Symetralna odcinka \(AB\) jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek. Ponieważ symetralna ma współczynnik kierunkowy \(3\), prosta \(AB\) ma współczynnik \(-\frac13\) i przechodzi przez \(A=(-18,10)\):
\[AB:\ y=-\frac13(x+18)+10=-\frac13x+4.\]
Środek \(M\) odcinka \(AB\) jest punktem przecięcia obu prostych:
\[3x=-\frac13x+4\quad\Longrightarrow\quad \frac{10}3x=4\quad\Longrightarrow\quad x=\frac65,\qquad y=\frac{18}5.\]
Z własności środka odcinka
\[B=\left(2\cdot\frac65+18,\ 2\cdot\frac{18}5-10\right)=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right).\]
**Odpowiedź.** \(B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right)\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie równania prostej prostopadłej do prostej \(y=3x\) i przechodzącej przez punkt \(A=(-18,10)\) **albo** obliczenie odległości punktu \(A\) od tej prostej
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą, z którego można obliczyć współrzędną punktu \(B\)
**3 pkt** – zapisanie obu równości pozwalających obliczyć współrzędne punktu \(B\)
**4 pkt** – obliczenie i zapisanie współrzędnych punktu \(B=\left(\frac{102}5,-\frac{14}5\right)\)
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymaganie szczegółowe:** 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej — zdający wyznacza równanie prostej równoległej lub prostopadłej do danej i przechodzącej przez dany punkt (8.3), oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4) oraz wyznacza współrzędne środka odcinka (8.5).
