Trygonometria
Zadanie 15, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i objętości \(36\sqrt{3}\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną \(\gamma\), która:
- jest prostopadła do ściany bocznej \(CDS\),
- przechodzi przez środek \(K\) krawędzi \(AD\) i środek \(L\) krawędzi \(BC\),
- przecina krawędź \(CS\) w punkcie \(M\), a krawędź \(DS\) w punkcie \(N\),
- tworzy z płaszczyzną podstawy \(ABCD\) kąt o mierze \(30^{\circ}\).
Przekrój \(KLMN\) jest trapezem równoramiennym (zobacz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.
Odpowiedź
Pole trapezu \(KLMN\) jest równe \(\displaystyle \frac{63\sqrt{3}}{8}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(H\) wysokość ostrosłupa. Z kąta \(30^{\circ}\) otrzymujemy \(H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Warunek objętości
\[\frac{1}{3}a^{2}H=36\sqrt{3}\]
daje \(a=6\). Z geometrii przekroju wynika, że \(\lvert KL\rvert=6\), \(\lvert MN\rvert=\frac{9}{2}\), a wysokość trapezu jest równa \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\). Zatem
\[P_{KLMN}=\frac{1}{2}\left(6+\frac{9}{2}\right)\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{63\sqrt{3}}{8}.\]
Klucz i zasady oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.
**Pierwszy etap** polega na obliczeniu długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty. Podział punktów za pierwszy etap rozwiązania:
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie wysokości ostrosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy: \(H=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
**2 pkt** – obliczenie długości krawędzi podstawy: \(a=6\).
**Drugi etap** polega na wyznaczeniu długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania:
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: \(\lvert MN\rvert=\frac{3}{4}a\) lub \(\lvert PR\rvert=\frac{a\sqrt{3}}{4}\) ALBO obliczenie długości krótszej podstawy trapezu lub wysokości trapezu: \(\lvert MN\rvert=\frac{18}{4}\) lub \(\lvert PR\rvert=\frac{6\sqrt{3}}{4}\).
**2 pkt** – wyznaczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu w zależności od długości krawędzi podstawy ostrosłupa: \(\lvert MN\rvert=\frac{3}{4}a\) oraz \(\lvert PR\rvert=\frac{a\sqrt{3}}{4}\) ALBO obliczenie długości krótszej podstawy trapezu oraz wysokości trapezu: \(\lvert MN\rvert=\frac{18}{4}\) oraz \(\lvert PR\rvert=\frac{6\sqrt{3}}{4}\).
**Trzeci etap** polega na obliczeniu pola trapezu. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**1 pkt** – obliczenie pola przekroju ostrosłupa: \(\frac{63\sqrt{3}}{8}\).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
9.1) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza miary tych kątów;
9.4) Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami;
9.6) Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
9.2R) Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
