Czworokąty
Zadanie 29, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
Kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(1\) jest podstawą ostrosłupa \(ABCDS\). Odcinek \(HS\) jest wysokością ostrosłupa, przy czym punkt \(H\) dzieli przekątną \(AC\) podstawy w stosunku \(2:1\) (zobacz rysunek). Krawędzie boczne \(BS\) i \(DS\) mają długość równą \(1\). Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz długości krawędzi \(AS\) i \(CS\).
Odpowiedź
\[V=\frac29,\qquad AS=\frac{2\sqrt3}{3},\qquad CS=\frac{\sqrt6}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(T\) będzie punktem przecięcia przekątnych podstawy. Ponieważ \(AC=\sqrt2\) i \(AH:HC=2:1\),
\[AH=\frac{2\sqrt2}{3},\qquad CH=\frac{\sqrt2}{3},\qquad HT=AH-AT=\frac{\sqrt2}{6}.\]
Trójkąt \(BSD\) ma boki \(BS=DS=1\) i \(BD=\sqrt2\), jest więc równoramienny i prostokątny. Jego wysokość opuszczona z \(S\) na \(BD\) ma długość
\[ST=\frac{\sqrt2}{2}.\]
W trójkącie prostokątnym \(SHT\):
\[HS=\sqrt{ST^2-HT^2}=\sqrt{\frac12-\frac1{18}}=\frac23.\]
Stąd objętość ostrosłupa wynosi
\[V=\frac13\cdot1^2\cdot\frac23=\frac29.\]
W trójkątach prostokątnych \(AHS\) i \(CHS\):
\[AS=\sqrt{AH^2+HS^2}=\sqrt{\frac89+\frac49}=\frac{2\sqrt3}{3},\]
\[CS=\sqrt{CH^2+HS^2}=\sqrt{\frac29+\frac49}=\frac{\sqrt6}{3}.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 6 pkt** – poprawna objętość oraz obie długości krawędzi
**4: 5 pkt** – poprawne wyznaczenie wysokości \(HS=\frac23\) i co najmniej dwóch żądanych wielkości
**2: 3 pkt** – poprawne długości na przekątnej oraz wyznaczenie \(ST\)
**1 pkt** – rozpoznanie, że trójkąt \(BSD\) jest prostokątny równoramienny
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
10.7. G. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa.
