Trójkąty
Zadanie 33, czerwiec 2021, poziom podstawowy
W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach - odpowiednio - \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest \(17\) razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz
\[\frac{|CE|}{|EB|}.\]
Odpowiedź
\[\frac{|CE|}{|EB|}=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(F\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z \(C\) na podstawę \(AB\). W trójkącie równoramiennym jest ona również środkową, więc
\[P_{FBC}=\frac12P_{ABC}.\]
Czworokąt \(ADEC\) i trójkąt \(BED\) tworzą cały trójkąt \(ABC\). Skoro
\[P_{ADEC}=17P_{BED},\]
to \(P_{ABC}=18P_{BED}\), a zatem
\[P_{FBC}=9P_{BED}.\]
Ponieważ \(DE\parallel CF\), trójkąty \(BED\) i \(BCF\) są podobne. Stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa:
\[\frac{P_{FBC}}{P_{BED}}=\left(\frac{|BC|}{|BE|}\right)^2=9.\]
Stąd \(|BC|/|BE|=3\). Ponieważ \(|BC|=|BE|+|CE|\), otrzymujemy
\[1+\frac{|CE|}{|EB|}=3,\]
czyli
\[\frac{|CE|}{|EB|}=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie \(|CE|/|EB|=2\)
**1 pkt** – wykazanie podobieństwa trójkątów \(BCF\) i \(BED\) albo zapisanie zależności \(P_{FBC}=9P_{BED}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV i V użycie strategii oraz rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
wykorzystywanie własności trójkąta równoramiennego, podobieństwa trójkątów i stosunku pól figur podobnych.
