Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Liczba
\[6^{30}:4^{15}\]
jest równa
**A.** \((1{,}5)^{15}\)
**B.** \((1{,}5)^2\)
**C.** \(3^{30}\)
**D.** \(3^0\)
Odpowiedź
**C.** \(3^{30}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Mamy iloraz dwóch potęg o różnych podstawach i różnych wykładnikach, więc praw działań nie da się zastosować od razu. Ratunkiem jest spostrzeżenie, że \(30=2\cdot 15\) — możemy sprowadzić obie potęgi do tego samego wykładnika \(15\).
**Krok \(2\).** Przekształcamy licznik, korzystając ze wzoru \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}\) czytanego od prawej do lewej:
\[6^{30}=\left(6^{2}\right)^{15}=36^{15}.\]
**Krok \(3\).** Teraz obie potęgi mają wykładnik \(15\), więc stosujemy wzór \(\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\):
\[\frac{36^{15}}{4^{15}}=\left(\frac{36}{4}\right)^{15}=9^{15}.\]
**Krok \(4\).** Zapisujemy \(9\) jako potęgę trójki:
\[9^{15}=\left(3^{2}\right)^{15}=3^{30}.\]
**Krok \(5\).** Odpowiedzi \((1{,}5)^{15}\) i \((1{,}5)^{2}\) są pułapką dla kogoś, kto podzieli same podstawy \(6:4=1{,}5\), nie zważając na różne wykładniki. Tak robić nie wolno — wzór \(\frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}\) wymaga równych wykładników, a te wyrównaliśmy dopiero w kroku \(2\).
**Uwaga.** Kolejność jest tu istotna: najpierw wyrównujemy wykładniki, dopiero potem dzielimy podstawy.
**Odpowiedź.** C. \(3^{30}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** liczby rzeczywiste i potęgi; zdający stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach całkowitych.
