Zliczanie i kombinatoryka
Zadanie 80, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Na jednej prostej zaznaczono \(3\) punkty, a na drugiej \(4\) punkty (patrz rysunek). Ile jest wszystkich trójkątów, których wierzchołkami są trzy spośród zaznaczonych punktów?
Odpowiedź
\(30\) trójkątów
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że punkty leżą na dwóch różnych prostych: \(3\) punkty na jednej i \(4\) na drugiej, w sumie \(7\) punktów. Punkt przecięcia prostych nie jest zaznaczony, więc żaden punkt nie leży na obu prostych.
Trójkąt wyznaczają trzy punkty niewspółliniowe, a kolejność wyboru wierzchołków nie ma znaczenia — liczymy kombinacje.
Wszystkich trójek punktów jest \(\binom73=35\). Trójka nie wyznacza trójkąta dokładnie wtedy, gdy wszystkie trzy punkty leżą na jednej prostej: na pierwszej prostej daje to \(\binom33=1\) trójkę, a na drugiej \(\binom43=4\) trójki.
Zatem trójkątów jest
\[35-1-4=30.\]
Ten sam wynik daje zliczanie wprost: dwa wierzchołki z jednej prostej i jeden z drugiej to \(\binom32\cdot4+3\cdot\binom42=12+18=30\).
**Odpowiedź.** \(30\) trójkątów
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(30\) trójkątów
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Kombinatoryka.
