Funkcje
Zadanie 31, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2023, poziom rozszerzony
W pewnym mieście jest prostopadły układ ulic: ulice przecinają się pod kątem prostym, a ruch na każdej z nich jest dwukierunkowy. W centrum miasta znajduje się park, w którym obowiązuje całkowity zakaz ruchu pojazdów. Schemat ulic wraz z położeniem parku przedstawiono na rysunku. Tomek chce dojechać samochodem najkrótszą drogą z punktu \(A\) do punktu \(B\).
**Oblicz, ile jest możliwości wyboru najkrótszej drogi z \(A\) do \(B\).**
Odpowiedź
Liczba najkrótszych dróg z \(A\) do \(B\) jest równa \(30140\).
Rozwiązanie krok po kroku
Każda najkrótsza droga omijająca park przechodzi przez dokładnie jeden z punktów granicznych \(C,D,E,F,G\) zaznaczonych na schemacie. Liczba tras przechodzących przez punkt \(K\) jest iloczynem liczby najkrótszych dróg z \(A\) do \(K\) i z \(K\) do \(B\). Z układu ulic odczytujemy:
\[n(A,C)n(C,B)=\binom{11}{2}\binom{13}{0}=55,\]
\[n(A,D)n(D,B)=\binom{11}{3}\binom{13}{1}=2145,\]
\[n(A,E)n(E,B)=\binom{11}{4}\binom{13}{2}=25740,\]
\[n(A,F)n(F,B)=\binom{13}{1}\binom{11}{3}=2145,\]
\[n(A,G)n(G,B)=\binom{13}{0}\binom{11}{2}=55.\]
Z reguły dodawania
\[n(A,B)=55+2145+25740+2145+55=30140.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – prawidłowa metoda i wynik \(30140\)
**3 pkt** – obliczenie liczby najkrótszych dróg z \(A\) do każdego rozpatrywanego punktu \(K\in\{C,D,E,F,G\}\)
**2 pkt** – zapisanie iloczynu \(n(A,K)n(K,B)\) dla dróg przechodzących przez \(K\)
**1 pkt** – stwierdzenie, że każda najkrótsza droga przechodzi przez jeden z punktów \(C-G\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II-IV operowanie informacjami z diagramu, tworzenie modelu matematycznego i stosowanie strategii w zadaniu nietypowym.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.1R i XI.2R stosowanie reguł mnożenia i dodawania, wzorów na liczbę kombinacji oraz symbolu Newtona w problemach kombinatorycznych.
