Inne zagadnienia
Zadanie 20, arkusz pokazowy 2015, poziom podstawowy
Każdy uczestnik spotkania dwunastoosobowej grupy przyjaciół uścisnął dłoń każdemu z pozostałych członków tej grupy. Liczba wszystkich uścisków dłoni była równa:
**A.** \(66\)
**B.** \(72\)
**C.** \(132\)
**D.** \(144\)
Odpowiedź
**A.** \(66\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy, co właściwie zliczamy. Jeden uścisk dłoni to **para** osób, przy czym para składająca się z Ani i Bartka to ten sam uścisk co para Bartka i Ani — kolejność nie ma znaczenia. Zliczamy więc dwuelementowe podzbiory zbioru \(12\) osób.
**Krok \(2\).** Liczymy sposobem elementarnym. Każda z \(12\) osób ściska dłoń każdej z pozostałych \(11\) osób, co daje
\[12\cdot11=132\]
uścisków — ale policzonych z punktu widzenia poszczególnych osób.
**Krok \(3\).** Zauważamy, że w tym rachunku każdy uścisk został policzony **dwa razy**: raz gdy patrzymy na jedną osobę z pary, raz gdy na drugą. Dlatego dzielimy przez \(2\):
\[\frac{132}{2}=66.\]
**Krok \(4\).** Ten sam wynik daje symbol Newtona (liczba dwuelementowych podzbiorów zbioru \(12\)-elementowego):
\[\binom{12}{2}=\frac{12\cdot11}{2}=66.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy metodę na małym przykładzie: dla \(3\) osób wzór daje \(\frac{3\cdot2}{2}=3\) uściski — i faktycznie w trójce są dokładnie trzy pary.
**Uwaga.** Odpowiedź \(132\) to typowy błąd: pominięcie dzielenia przez \(2\), czyli policzenie każdego uścisku dwukrotnie. Z kolei \(144=12^{2}\) oznaczałoby, że każdy ściska dłoń także samemu sobie.
**Odpowiedź.** A: \(66\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A**
**0 pkt** – odpowiedź błędna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE podaje tylko odpowiedź. **Klasyfikacja rzeczowa:** kombinatoryka, liczba par elementów.
