Logarytmy
Zadanie 1, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Dane są liczby
\[a=4^{\log_2 45}\qquad\text{oraz}\qquad b=\frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}.\]
**Oblicz \(a-b\).**
Odpowiedź
\[a-b=2023.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy \(a\):
\[a=4^{\log_2 45}=(2^2)^{\log_2 45}=2^{2\log_2 45}=45^2=2025.\]
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:
\[b=\frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}=\frac{\log_3 2023}{\frac{\log_3 2023}{\log_3 9}}=\log_3 9=2.\]
Zatem
\[a-b=2025-2=2023.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne obliczenie \(a-b=2023\)
**1 pkt** – obliczenie \(a=45^2\) albo obliczenie \(b=2\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji; 1. Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
I.R1) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
