Trójkąty
Zadanie 27, zbiór zadań z informatora 2015, poziom rozszerzony
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość \(a\). Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\). Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{a^3}{12}\operatorname{tg}\alpha,\qquad P_b=\frac{a^2\sqrt3}{4}\sqrt{1+4\operatorname{tg}^2\alpha}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(W\) będzie wierzchołkiem ostrosłupa, \(O\) środkiem podstawy, \(S\) środkiem wysokości \(OW\), a \(M\) środkiem krawędzi podstawy, przez którą przechodzi wskazana płaszczyzna. W trójkącie równobocznym podstawy
\[OM=\frac{a\sqrt3}{6}.\]
Z definicji kąta nachylenia \(OS=OM\operatorname{tg}\alpha\), a ponieważ \(S\) jest środkiem \(OW\),
\[OW=2OS=\frac{a\sqrt3}{3}\operatorname{tg}\alpha.\]
Pole podstawy wynosi \(\frac{a^2\sqrt3}{4}\), więc
\[V=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\frac{a\sqrt3}{3}\operatorname{tg}\alpha=\frac{a^3}{12}\operatorname{tg}\alpha.\]
Wysokość ściany bocznej spełnia
\[MW^2=OM^2+OW^2=\frac{a^2}{12}\left(1+4\operatorname{tg}^2\alpha\right),\]
zatem
\[MW=\frac{a\sqrt3}{6}\sqrt{1+4\operatorname{tg}^2\alpha}.\]
Pole trzech ścian bocznych jest równe
\[P_b=3\cdot\frac12a\cdot MW=\frac{a^2\sqrt3}{4}\sqrt{1+4\operatorname{tg}^2\alpha}.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna objętość i pole powierzchni bocznej
**3 pkt** – poprawna wysokość ostrosłupa i jedna z dwóch żądanych wielkości
**2 pkt** – wyznaczenie \(OW=\frac{a\sqrt3}{3}\operatorname{tg}\alpha\)
**1 pkt** – poprawne ustalenie \(OM=\frac{a\sqrt3}{6}\) i związku z kątem \(\alpha\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Użycie i tworzenie strategii. Zdający tworzy strategię rozwiązania problemu.
**Wymagania szczegółowe:**
9.2. R. Zdający określa, jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną.
9.6. Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości.
10.7. G. Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa.
