Trójkąty
Zadanie 12, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
W ostrosłupie trójkątnym \(ABCS\) o podstawie \(ABC\) i wierzchołku \(S\) dane są:
\[|AB|=|AC|=|SB|=|SC|=9\quad\text{i}\quad|AS|=|BC|=8.\]
Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=\frac{224}{3}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(M\) będzie środkiem krawędzi \(BC\).
Z \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\) wynika, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, więc \(AM\perp BC\); z \(\lvert SB\rvert=\lvert SC\rvert\) tak samo \(SM\perp BC\). Krawędź \(BC\) jest zatem prostopadła do dwóch prostych przecinających się płaszczyzny \(AMS\), czyli do całej tej płaszczyzny.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach \(ABM\) i \(SBM\) (\(\lvert BM\rvert=4\)):
\[\lvert AM\rvert=\lvert SM\rvert=\sqrt{9^2-4^2}=\sqrt{65}.\]
Trójkąt \(AMS\) jest równoramienny o podstawie \(AS=8\), więc jego wysokość opuszczona na \(AS\) wynosi \(\sqrt{65-16}=7\), a pole
\[P_{AMS}=\tfrac12\cdot8\cdot7=28.\]
Płaszczyzna \(AMS\) dzieli ostrosłup na dwa ostrosłupy o podstawie \(AMS\) i wysokościach \(\lvert BM\rvert=\lvert CM\rvert=4\) (bo \(BC\perp AMS\)):
\[V=2\cdot\tfrac13\cdot28\cdot4=\frac{224}{3}.\]
**Odpowiedź.** \(V=\dfrac{224}{3}\)
Klucz i zasady oceniania
*Schemat oceniania I*
**1 pkt** – obliczenie pola podstawy ostrosłupa \(P=4\sqrt{65}\).
**2 pkt** – obliczenie wysokości ostrosłupa \(h=\frac{56}{\sqrt{65}}\) i nie obliczenie pola podstawy ostrosłupa albo obliczenie pola podstawy ostrosłupa i wskazanie metody obliczenia wysokości ostrosłupa.
**3 pkt** – obliczenie wysokości ostrosłupa \(h=\frac{56}{\sqrt{65}}\) oraz pola podstawy ostrosłupa i nie obliczenie objętości lub obliczenie objętości ostrosłupa z błędem rachunkowym.
**4 pkt** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=\frac{224}{3}\).
*Schemat oceniania II*
**1 pkt** – wpisanie ostrosłupa w prostopadłościan o podstawie kwadratowej.
**2 pkt** – obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu \(a=\frac{8}{\sqrt{2}}\) i \(b=7\).
**3 pkt** – zapisanie objętości ostrosłupa \(ABCS\) jako różnicy objętości prostopadłościanu i czterech przystających ostrosłupów.
**4 pkt** – obliczenie objętości ostrosłupa: \(V=\frac{224}{3}\).
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie pola podstawy, wysokości i objętości ostrosłupa trójkątnego.
