Geometria płaska
Zadanie 108, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku \(O\) i średnicach odpowiednio \(AB\) i \(CD\) (punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) i \(O\) są współliniowe). Punkt \(P\) leży na wewnętrznym półokręgu, punkt \(R\) leży na zewnętrznym półokręgu, punkty \(O\), \(P\) i \(R\) są współliniowe. Udowodnij, że \(|\angle APB|+|\angle CRD|=180^\circ\).
Odpowiedź
\[\lvert\angle APB\rvert+\lvert\angle CRD\rvert=180^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinek \(AB\) jest średnicą półokręgu, na którym leży punkt \(P\). Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc
\[\lvert\angle APB\rvert=90^\circ.\]
Tak samo odcinek \(CD\) jest średnicą półokręgu, na którym leży punkt \(R\), zatem
\[\lvert\angle CRD\rvert=90^\circ.\]
Stąd
\[\lvert\angle APB\rvert+\lvert\angle CRD\rvert=90^\circ+90^\circ=180^\circ,\]
co należało udowodnić. Warunek współliniowości punktów \(O\), \(P\), \(R\) gwarantuje jedynie, że oba punkty leżą po tej samej stronie prostej \(AB\) — na wartość obu kątów nie wpływa.
**Odpowiedź.** \(\lvert\angle APB\rvert+\lvert\angle CRD\rvert=180^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: dowód
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
