Ciągi
Zadanie 21, próbna marzec 2026, poziom podstawowy
Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\), w którym \(|AB|=2\cdot|CD|\). Przekątna \(AC\) tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta \(DAB\).
**Wykaż, że w tym trapezie miara kąta** \(\mathbf{DAB}\) **jest równa** \(\mathbf{60^{\circ}}\)**.**
Odpowiedź
\[\angle DAB=60^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|CD|=a\), więc \(|AB|=2a\), oraz \(\angle DAB=2\alpha\). Przekątna \(AC\) leży na dwusiecznej, dlatego
\[\angle DAC=\angle CAB=\alpha.\]
Ponieważ \(AB\parallel CD\), mamy także \(\angle ACD=\alpha\). Trójkąt \(ACD\) jest więc równoramienny i \(|AD|=|CD|=a\). Trapez jest równoramienny, zatem \(|BC|=a\).
Niech \(E\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z \(C\) na \(AB\). Wtedy
\[|EB|=\frac{|AB|-|CD|}{2}=\frac{2a-a}{2}=\frac a2.\]
W trójkącie prostokątnym \(EBC\):
\[\cos(2\alpha)=\frac{|EB|}{|BC|}=\frac12.\]
Kąt \(2\alpha\) jest ostry, więc \(2\alpha=60^\circ\). Zatem \(\angle DAB=60^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego rozumowania
**2 pkt** – wyznaczenie dwóch boków trójkąta prostokątnego \(EBC\) w zależności od jednej zmiennej
**1 pkt** – wykazanie, że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny
**0 pkt** – zastosowanie niepoprawnej metody albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
