Geometria płaska
Zadanie 21, maj 2021, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\). Miary kątów \(SBC\), \(BCD\), \(CDA\) są równe odpowiednio
\[|\angle SBC|=60^\circ,\qquad |\angle BCD|=110^\circ,\qquad |\angle CDA|=90^\circ.\]
Wynika stąd, że miara \(\alpha\) kąta \(DAS\) jest równa
**A.** \(25^\circ\)
**B.** \(30^\circ\)
**C.** \(35^\circ\)
**D.** \(40^\circ\)
Odpowiedź
**D.** \(40^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(|SB|=|SC|\) oraz \(|\angle SBC|=60^\circ\), trójkąt \(SBC\) jest równoboczny, więc łuk \(BC\) ma miarę \(60^\circ\). Kąt \(CDA\) jest prosty, zatem \(CA\) jest średnicą i łuk \(CBA\) ma miarę \(180^\circ\). Stąd łuk \(BA\) ma miarę \(120^\circ\).
Kąt wpisany \(BCD\) ma miarę \(110^\circ\), więc łuk \(BAD\), na którym jest oparty, ma miarę \(220^\circ\). Zatem łuk \(AD\) ma miarę
\[220^\circ-120^\circ=100^\circ.\]
Kąt środkowy \(ASD\) ma więc \(100^\circ\). Trójkąt \(ASD\) jest równoramienny, dlatego
\[\alpha=|\angle DAS|=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
7.1 stosowanie zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.
