Trójkąty
Zadanie 8, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
Dany jest okrąg \(\mathcal O\). Przez punkt \(A\) poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \(P\) oraz \(Q\). Przez punkt \(B\), leżący na odcinku \(AP\), poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie \(D\), która przecięła odcinek \(AQ\) w punkcie \(C\) (zobacz rysunek).
**Wykaż, że jeżeli \(|AQ|=5\cdot|BP|\) oraz \(|CD|=2\cdot|BD|\), to trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.**
Odpowiedź
\[|AC|=|BC|=3x,\]
zatem trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech
\[|BP|=x.\]
Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu mają równe długości, zatem
\[|BD|=|BP|=x.\]
Z warunku \(|CD|=2|BD|\) otrzymujemy
\[|CD|=2x.\]
Ponownie korzystając z własności odcinków stycznych, tym razem poprowadzonych z punktu \(C\), mamy
\[|CQ|=|CD|=2x.\]
Z warunku \(|AQ|=5|BP|\) wynika
\[|AQ|=5x.\]
Odcinki styczne poprowadzone z punktu \(A\) także są równe, więc
\[|AP|=|AQ|=5x.\]
Teraz
\[|AC|=|AQ|-|CQ|=5x-2x=3x,\]
a także
\[|BC|=|BD|+|DC|=x+2x=3x.\]
Stąd \(|AC|=|BC|\), więc trójkąt \(ABC\) jest równoramienny.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – spełnienie kryterium za \(2\) punkty oraz uzasadnienie, że \(|AC|=|BC|\)
**2 pkt** – wyznaczenie długości \(|AP|\), \(|AQ|\), \(|BD|\), \(|CD|\), \(|CQ|\) względem tej samej zmiennej, na przykład \(5x,5x,x,2x,2x\)
**1 pkt** – zapisanie co najmniej jednej właściwej równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach stycznych: \(|BD|=|BP|\), \(|AP|=|AQ|\) lub \(|CQ|=|CD|\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 1. Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.1) Zdający wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.
