Trójkąty
Zadanie 21, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(S\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Prosta \(l\) przecina ten okrąg w punktach \(B\) i \(C\). Proste \(k\) i \(l\) przecinają się w punkcie \(D\), przy czym \(|BC|=4\) i \(|CD|=3\) (zobacz rysunek).
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) jest równa
**A.** \(\frac72\)
**B.** \(5\)
**C.** \(\sqrt{12}\)
**D.** \(\sqrt3+2\)
Odpowiedź
**C.** \(\sqrt{12}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Z twierdzenia o stycznej i siecznej:
\[|DA|^2=|DC|\cdot|DB|=3\cdot(3+4)=21,\]
więc \(|DA|=\sqrt{21}\). Ponieważ styczna w punkcie \(A\) jest prostopadła do promienia, trójkąt \(DAB\) jest prostokątny, a \(|DB|=7\). Z twierdzenia Pitagorasa:
\[|AB|=\sqrt{7^2-(\sqrt{21})^2}=\sqrt{28}=2\sqrt7.\]
Szukana odległość jest wysokością trójkąta \(DAB\) opuszczoną z \(A\) na przeciwprostokątną \(DB\). Porównując pola:
\[\frac12|DA|\cdot|AB|=\frac12|DB|\cdot h,\]
\[h=\frac{\sqrt{21}\cdot2\sqrt7}{7}=2\sqrt3=\sqrt{12}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** geometria okręgu i trójkąta prostokątnego; zdający stosuje twierdzenie o stycznej i siecznej, twierdzenie Pitagorasa oraz wzór na pole trójkąta.
