Równania i nierówności
Zadanie 14, próbna styczeń 2004, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeśli \(a\neq b\), to równanie
\[x^2+y^2+ax+by+\frac{ab}{2}=0\]
jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długość promienia tego okręgu.
Odpowiedź
Środek \(S=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\), promień \(r=\frac{|a-b|}{2}\); teza wynika z przekształcenia równania do postaci \(\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\), której prawa strona jest dodatnia dla \(a\neq b\) (dowód w rozwiązaniu).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Równanie ma postać \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\). Takie równanie przedstawia okrąg dokładnie wtedy, gdy da się je zapisać w postaci kanonicznej \((x-p)^2+(y-q)^2=r^2\), w której prawa strona jest liczbą dodatnią. Metoda jest jedna: uzupełniamy wyrażenia z \(x\) i z \(y\) do pełnych kwadratów.
**Krok \(2\).** Uzupełniamy do kwadratu wyrażenie z \(x\). Skoro \(\left(x+\frac{a}{2}\right)^2=x^2+ax+\frac{a^2}{4}\), to
\[x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}.\]
Analogicznie dla \(y\):
\[y^2+by=\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}.\]
**Krok \(3\).** Wstawiamy to do danego równania:
\[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+\frac{ab}{2}=0,\]
a po przeniesieniu liczb na prawą stronę:
\[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}.\]
**Krok \(4\).** Upraszczamy prawą stronę, sprowadzając ją do wspólnego mianownika \(4\) i rozpoznając wzór skróconego mnożenia:
\[\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-\frac{ab}{2}=\frac{a^2-2ab+b^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\]
Równanie ma więc postać
\[\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\left(y+\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2.\]
**Krok \(5\).** Teraz korzystamy z założenia. Skoro \(a\neq b\), to \(a-b\neq0\), a zatem \((a-b)^2\gt0\) i prawa strona jest liczbą dodatnią. Otrzymana postać kanoniczna przedstawia więc okrąg — to kończy dowód.
**Krok \(6\).** Odczytujemy z postaci kanonicznej środek. Zapisując lewą stronę jako \(\left(x-\left(-\frac{a}{2}\right)\right)^2+\left(y-\left(-\frac{b}{2}\right)\right)^2\), widzimy, że
\[S=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right).\]
**Krok \(7\).** Wyznaczamy promień. Z \(r^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\) otrzymujemy
\[r=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2}=\left|\frac{a-b}{2}\right|=\frac{|a-b|}{2}.\]
**Uwaga.** Dwa szczegóły decydują tu o kompletności rozwiązania. Po pierwsze, założenie \(a\neq b\) nie jest ozdobnikiem — gdyby \(a=b\), prawa strona byłaby zerem i równanie opisywałoby jeden punkt, a nie okrąg. Po drugie, w promieniu konieczna jest wartość bezwzględna: promień jest dodatni, a różnica \(a-b\) może być ujemna, więc zapis \(r=\frac{a-b}{2}\) bez modułu jest błędny.
**Odpowiedź.** Środek \(S=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\), promień \(r=\frac{|a-b|}{2}\); teza wynika z przekształcenia równania do postaci \(\left(x+\frac a2\right)^2+\left(y+\frac b2\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\), której prawa strona jest dodatnia dla \(a\neq b\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**14.1. (1 pkt)** – przekształcenie podanego równania: \(\left(x+\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}=\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}\).
**14.2. (1 pkt)** – uzasadnienie, że otrzymane równanie jest równaniem okręgu: Ponieważ \(a\ne b\), to \(\left(\frac{a-b}{2}\right)^{2}>0\). Otrzymane równanie przedstawia okrąg.
**14.3. (1 pkt)** – wyznaczenie współrzędnych środka i długości promienia okręgu: \(S=\left(-\frac{a}{2};-\frac{b}{2}\right)\), \(r=\frac{a-b}{2}\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
