Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
**Oblicz**
\[\frac{\log_3 5\cdot\log_{25}27}{\log_7\sqrt[6]{49}}.\]
**Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[\frac92.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Stosujemy wzór na zmianę podstawy logarytmu:
\[\log_{25}27=\frac{\log_3 27}{\log_3 25}=\frac3{2\log_3 5}.\]
Ponadto
\[\log_7\sqrt[6]{49}=\log_7(7^2)^{1/6}=\log_7 7^{1/3}=\frac13.\]
Zatem
\[\frac{\log_3 5\cdot\log_{25}27}{\log_7\sqrt[6]{49}}=\frac{\log_3 5\cdot\frac3{2\log_3 5}}{\frac13}=\frac32\cdot3=\frac92.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi i zmianę podstawy oraz wynik \(\frac92\)
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na zmianę podstawy logarytmu i poprawne zapisanie przekształconego wyrażenia
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji oraz operowanie obiektami matematycznymi.
**Wymagania szczegółowe:**
I.9 i I.R1 stosowanie związku logarytmowania z potęgowaniem, wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
