Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, maj 2019, poziom rozszerzony
Dla dowolnych liczb \(x>0\), \(x\ne1\), \(y>0\), \(y\ne1\) wartość wyrażenia
\[\left(\log_{\frac1x}y\right)\cdot\left(\log_{\frac1y}x\right)\]
jest równa
**A.** \(x\cdot y\)
**B.** \(\frac1{x\cdot y}\)
**C.** \(-1\)
**D.** \(1\)
Odpowiedź
**D.** \(1\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy
\[\log_{1/x}y=\frac{\log_xy}{\log_x(1/x)}=-\log_xy\]
oraz analogicznie \(\log_{1/y}x=-\log_yx\). Zatem
\[\left(\log_{1/x}y\right)\left(\log_{1/y}x\right)=\log_xy\cdot\log_yx=1.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: D
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R1.2 stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
