Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz **P**, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo **F** - jeśli jest fałszywe.
| Stwierdzenie | P | F |
|---|:---:|:---:|
| Iloczyn \(2\cdot\log_{3}5\) jest równy \(\log_{3}25\). | P | F |
| Suma \(2+\log_{3}5\) jest równa \(\log_{3}10\). | P | F |
Odpowiedź
**P, F.** Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe, ponieważ \(2\log_{3}5=\log_{3}5^{2}=\log_{3}25\). Drugie jest fałszywe, ponieważ \(2=\log_{3}9\), więc \(2+\log_{3}5=\log_{3}45\neq\log_{3}10\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Oba stwierdzenia oceniamy osobno. Potrzebne będą dwie własności logarytmów: \(n\log_a b=\log_a b^n\) oraz \(\log_a b+\log_a c=\log_a(b\cdot c)\).
**Krok \(2\).** Pierwsze stwierdzenie. Liczbę \(2\) stojącą **przed** logarytmem wciągamy do środka jako wykładnik:
\[2\log_3 5=\log_3 5^2=\log_3 25.\]
Zgadza się z tym, co napisano, więc stwierdzenie jest prawdziwe - P.
**Krok \(3\).** Drugie stwierdzenie. Tu \(2\) stoi **obok** logarytmu jako osobny składnik, więc najpierw musimy zamienić je na logarytm o tej samej podstawie. Szukamy wykładnika: \(3^2=9\), zatem
\[2=\log_3 9.\]
**Krok \(4\).** Teraz mamy sumę dwóch logarytmów o tej samej podstawie, którą zamieniamy na logarytm iloczynu:
\[2+\log_3 5=\log_3 9+\log_3 5=\log_3(9\cdot 5)=\log_3 45.\]
**Krok \(5\).** Ponieważ \(45\neq 10\), a funkcja logarytmiczna różnym argumentom przypisuje różne wartości, mamy \(\log_3 45\neq\log_3 10\). Drugie stwierdzenie jest fałszywe - F.
**Uwaga.** Sumy \(2+\log_3 5\) nie wolno zamieniać na \(\log_3(2+5)\) ani na \(\log_3 10\) - liczby stojącej obok logarytmu nie przenosi się do argumentu przez zwykłe dodawanie ani mnożenie. Najpierw trzeba ją zapisać jako logarytm o tej samej podstawie.
**Odpowiedź.** P, F
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Wymaganie ogólne: III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Wymaganie szczegółowe: I.9) Stosuje wzory na logarytm iloczynu i logarytm potęgi.
