Logarytmy
Zadanie 1, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
**Wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.**
Wartość wyrażenia
\[\log_{\sqrt2}3\cdot\log_{\sqrt3}2\]
jest równa
**A.** \(\frac14\)
**B.** \(3^2\)
**C.** \(2^3\)
**D.** \(4\)
Odpowiedź
**D.** \(4\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
\[\log_{\sqrt2}3=\frac{\log_2 3}{\log_2\sqrt2}=\frac{\log_2 3}{\frac12}=2\log_2 3,\]
\[\log_{\sqrt3}2=\frac{\log_3 2}{\log_3\sqrt3}=\frac{\log_3 2}{\frac12}=2\log_3 2.\]
Zatem
\[\log_{\sqrt2}3\cdot\log_{\sqrt3}2=4\log_2 3\cdot\log_3 2=4,\]
ponieważ \(\log_2 3\cdot\log_3 2=1\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** posługiwanie się definicją logarytmu, wzorem na zmianę podstawy logarytmu oraz własnościami logarytmów. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.
