Potęgi i pierwiastki
Zadanie 4, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Liczba
\[\log_2\frac18+\log_2 4\]
jest równa
**A.** \(-1\)
**B.** \(\frac12\)
**C.** \(2\)
**D.** \(5\)
Odpowiedź
**A.** \(-1\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy: oba logarytmy mają tę samą podstawę \(2\), a liczby \(\frac18\) i \(4\) są potęgami dwójki. Najprościej policzyć każdy logarytm osobno wprost z definicji: \(\log_{a}b\) to wykładnik, do którego podnosimy \(a\), aby otrzymać \(b\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy \(\frac18\) jako potęgę dwójki. Skoro \(8=2^{3}\), to
\[\frac18=\frac{1}{2^{3}}=2^{-3}.\]
**Krok \(3\).** Stąd
\[\log_{2}\frac18=\log_{2}2^{-3}=-3.\]
**Krok \(4\).** Podobnie \(4=2^{2}\), więc
\[\log_{2}4=\log_{2}2^{2}=2.\]
**Krok \(5\).** Dodajemy otrzymane wartości:
\[\log_{2}\frac18+\log_{2}4=-3+2=-1.\]
**Krok \(6\).** Ten sam wynik daje wzór na sumę logarytmów o wspólnej podstawie:
\[\log_{2}\frac18+\log_{2}4=\log_{2}\left(\frac18\cdot4\right)=\log_{2}\frac12=-1.\]
**Uwaga.** Przy podstawie większej od \(1\) logarytm liczby mniejszej od \(1\) jest ujemny — minus przy \(3\) nie jest przypadkiem. Suma logarytmów odpowiada **iloczynowi** liczb logarytmowanych, a nie ich sumie.
**Odpowiedź.** A: \(-1\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** logarytmy; zdający posługuje się definicją logarytmu i związkiem logarytmowania z potęgowaniem.
