Potęgi i pierwiastki
Zadanie 1, czerwiec 2022, poziom rozszerzony
Wiadomo, że
\[\log_5 2=a\qquad\text{i}\qquad\log_5 3=b.\]
Wtedy liczba \(\log_{18}40\) jest równa
**A.** \(\frac{3a+1}{a+b}\)
**B.** \(\frac{2a+1}{a+b}\)
**C.** \(\frac{2a+1}{a+2b}\)
**D.** \(\frac{3a+1}{2b+a}\)
Odpowiedź
**D.** \(\frac{3a+1}{2b+a}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:
\[\log_{18}40=\frac{\log_5 40}{\log_5 18}.\]
Ponieważ \(40=5\cdot2^3\) oraz \(18=2\cdot3^2\), mamy
\[\log_5 40=1+3a,\qquad\log_5 18=a+2b.\]
Zatem
\[\log_{18}40=\frac{3a+1}{a+2b}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
R1.2 stosowanie wzoru na logarytm potęgi oraz wzoru na zmianę podstawy logarytmu.
