Trójkąty
Zadanie 38, zbiór zadań z informatora 2015, poziom podstawowy
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AD|=|CD|\) oraz \(|AB|=|BD|\) (zobacz rysunek). Udowodnij, że
\[|\angle ADC|=5\cdot|\angle ACD|.\]
Odpowiedź
Wykazano, że \(|\angle ADC|=5\cdot|\angle ACD|\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=|\angle BAD|\) oraz \(\beta=|\angle ACD|\). Z równoramienności trójkątów \(ABD\), \(ACD\) i \(ABC\) mamy
\[|\angle DAB|=|\angle BAD|=\alpha,\qquad |\angle CAD|=|\angle ACD|=\beta\]
oraz
\[|\angle CAB|=|\angle CBA|=\alpha+\beta.\]
Kąt \(ADB\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \(ACD\), zatem
\[\alpha=2\beta.\]
Kąt \(ADC\) jest z kolei kątem zewnętrznym trójkąta \(ABD\), więc
\[|\angle ADC|=\alpha+\alpha+\beta=2\alpha+\beta=5\beta=5\cdot|\angle ACD|.\]
To kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje dwa rozwiązania wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – pełny poprawny dowód
**3 pkt** – ustalenie \(\alpha=2\beta\) oraz poprawnej zależności prowadzącej do tezy, z drobną usterką zapisu
**2 pkt** – poprawne rozpoznanie równości odpowiednich kątów w trzech trójkątach równoramiennych
**1 pkt** – wprowadzenie oznaczeń \(\alpha\), \(\beta\) i zapisanie co najmniej jednej istotnej zależności między kątami
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozumowanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja. Zdający prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.
**Wymagania szczegółowe:**
(zapis CKE) 10.17. (gimnazjum) Zdający rozpoznaje figury, które mają oś symetrii, i figury, które mają środek symetrii. Wskazuje oś symetrii i środek symetrii figury.
