Czworokąty
Zadanie 93, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Czworokąty \(ABCD\) i \(APQR\) są kwadratami (patrz rysunek). Udowodnij, że \(|BP|=|DR|\).
Odpowiedź
\[\lvert BP\rvert=\lvert DR\rvert.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że oba kwadraty mają wspólny wierzchołek \(A\), a wierzchołki \(P\), \(Q\), \(R\) mniejszego kwadratu leżą wewnątrz kąta \(BAD\) albo w jego pobliżu; kolejność wierzchołków w obu kwadratach jest zgodna.
Rozważmy trójkąty \(ABP\) i \(ADR\):
- \(\lvert AB\rvert=\lvert AD\rvert\), bo są to boki kwadratu \(ABCD\);
- \(\lvert AP\rvert=\lvert AR\rvert\), bo są to boki kwadratu \(APQR\);
- kąty między nimi są równe, bo
\[\lvert\angle BAP\rvert=\lvert\angle BAR\rvert-\lvert\angle PAR\rvert=\lvert\angle BAR\rvert-90^\circ,\]
\[\lvert\angle DAR\rvert=\lvert\angle BAR\rvert-\lvert\angle BAD\rvert=\lvert\angle BAR\rvert-90^\circ.\]
Trójkąty \(ABP\) i \(ADR\) są zatem przystające na podstawie cechy bok-kąt-bok, a więc
\[\lvert BP\rvert=\lvert DR\rvert,\]
co należało udowodnić.
Równoważnie: obrót o \(90^\circ\) wokół punktu \(A\) przeprowadza \(B\) na \(D\) oraz \(P\) na \(R\), a izometria zachowuje długości odcinków.
**Odpowiedź.** \(\lvert BP\rvert=\lvert DR\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: dowód
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
