Trójkąty
Zadanie 67, zbiór zadań z informatora 2010, poziom mieszany
Punkt \(D\) leży na boku \(BC\) trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Odcinek \(AD\) dzieli trójkąt \(ABC\) na dwa trójkąty równoramienne w taki sposób, że \(|AB|=|AD|=|CD|\) (patrz rysunek). Oblicz miary kątów trójkąta \(ABC\).
Odpowiedź
\(36\)°, \(72\)°, \(72\)°
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\gamma=\lvert\angle ACB\rvert\).
Z \(\lvert AD\rvert=\lvert CD\rvert\) trójkąt \(ACD\) jest równoramienny o podstawie \(AC\), więc \(\lvert\angle DAC\rvert=\gamma\), a kąt \(ADB\), jako kąt zewnętrzny trójkąta \(ACD\) przy wierzchołku \(D\), ma miarę
\[\lvert\angle ADB\rvert=2\gamma.\]
Z \(\lvert AB\rvert=\lvert AD\rvert\) trójkąt \(ABD\) jest równoramienny o podstawie \(BD\), więc
\[\lvert\angle ABD\rvert=\lvert\angle ADB\rvert=2\gamma.\]
Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny (\(\lvert AC\rvert=\lvert BC\rvert\)), więc \(\lvert\angle BAC\rvert=\lvert\angle ABC\rvert=2\gamma\). Z sumy kątów
\[2\gamma+2\gamma+\gamma=180^\circ,\qquad \gamma=36^\circ.\]
**Odpowiedź.** Kąty trójkąta \(ABC\) mają miary \(36^\circ\), \(72^\circ\), \(72^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Odpowiedź CKE: \(36^{\circ}\), \(72^{\circ}\), \(72^{\circ}\)
Wymagania podstawy programowej
Informator CKE 2010: tabela odpowiedzi nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu. Przypisanie według treści zadania: Geometria płaska.
