Trójkąty
Zadanie 14, czerwiec 2019, poziom podstawowy
Punkty \(B\), \(C\) i \(D\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(r\). Punkt \(A\) jest punktem wspólnym prostych \(BC\) i \(SD\), a odcinki \(AB\) i \(SC\) są równej długości. Miara kąta \(BCS\) jest równa \(34^\circ\) (zobacz rysunek). Wtedy
**A.** \(\alpha=12^\circ\)
**B.** \(\alpha=17^\circ\)
**C.** \(\alpha=22^\circ\)
**D.** \(\alpha=34^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(\alpha=17^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(|AB|=|SC|=r\) oraz \(|SB|=r\), trójkąt \(ABS\) jest równoramienny i jego kąty przy podstawie \(AS\) mają miarę \(\alpha\). Stąd
\[|\angle ABS|=180^\circ-2\alpha.\]
Punkty \(A,B,C\) są współliniowe, więc
\[|\angle CBS|=180^\circ-|\angle ABS|=2\alpha.\]
Trójkąt \(BCS\) jest równoramienny, bo \(|SB|=|SC|\), zatem \(|\angle CBS|=|\angle BCS|=34^\circ\). Otrzymujemy \(2\alpha=34^\circ\), czyli \(\alpha=17^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: B
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE dla zadań zamkniętych w tym arkuszu podaje odpowiedzi, bez osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** planimetria - promienie okręgu, trójkąty równoramienne i kąty przyległe.
