Graniastosłupy
Zadanie 35, sierpień 2022, poziom podstawowy
Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD|=15\), a ponadto \(|CD|=3+|BC|\) oraz \(\angle CDG=60^\circ\) (zobacz rysunek). **Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.**
Odpowiedź
\[V=1296\sqrt3,\qquad P_b=504\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(|BC|=x\). Wtedy \(|CD|=x+3\), a z twierdzenia Pitagorasa w podstawie:
\[x^2+(x+3)^2=15^2.\]
Po uproszczeniu otrzymujemy \(x^2+3x-108=0\), skąd dodatnie rozwiązanie to \(x=9\). Zatem
\[|BC|=9,\qquad |CD|=12.\]
Trójkąt \(DCG\) jest prostokątny w punkcie \(C\). Ponieważ \(\angle CDG=60^\circ\), wysokość graniastosłupa jest równa
\[|CG|=|CD|\tan60^\circ=12\sqrt3.\]
Objętość wynosi
\[V=9\cdot12\cdot12\sqrt3=1296\sqrt3.\]
Pole powierzchni bocznej jest iloczynem obwodu podstawy i wysokości:
\[P_b=2(9+12)\cdot12\sqrt3=504\sqrt3.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne obliczenie objętości \(1296\sqrt3\) i pola powierzchni bocznej \(504\sqrt3\)
**4 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów podstawy i wysokości oraz jednego z żądanych wyników
**3 pkt** – wyznaczenie \(|BC|=9\), \(|CD|=12\) i \(|CG|=12\sqrt3\)
**2 pkt** – poprawne wyznaczenie wymiarów podstawy albo wysokości po poprawnym zapisaniu zależności geometrycznych
**1 pkt** – zapisanie równania \(x^2+(x+3)^2=225\) lub zależności \(\tan60^\circ=|CG|/|CD|\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II-IV interpretowanie rysunku, tworzenie modelu i stosowanie strategii rozwiązania.
**Wymagania szczegółowe:**
X.2, VIII.3 i IX.1 obliczanie objętości i pola powierzchni graniastosłupa z użyciem twierdzenia Pitagorasa oraz trygonometrii.
