Trójkąty
Zadanie 11, maj 2003, poziom podstawowy
Podstawą prostopadłościanu \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) jest prostokąt o bokach długości \(|AD|=3\) i \(|AB|=6\). Wysokość prostopadłościanu ma długość równą \(6\). Uzasadnij za pomocą rachunków, że trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny.
Odpowiedź
Trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny — kąt prosty jest przy wierzchołku \(A\).
Rozwiązanie krok po kroku
Krawędź \(AB\) jest prostopadła do ściany \(ADD_1A_1\), ale wykażemy to rachunkiem, zgodnie z poleceniem.
Ściana \(ADD_1A_1\) jest prostokątem o bokach \(\lvert AD\rvert=3\) i \(\lvert DD_1\rvert=6\), więc
\[\lvert AD_1\rvert=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5.\]
Przekątna podstawy:
\[\lvert BD\rvert=\sqrt{\lvert AD\rvert^2+\lvert AB\rvert^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45},\]
a ponieważ krawędź \(DD_1\) jest prostopadła do podstawy,
\[\lvert BD_1\rvert=\sqrt{\lvert BD\rvert^2+\lvert DD_1\rvert^2}=\sqrt{45+36}=\sqrt{81}=9.\]
Boki trójkąta \(BAD_1\) mają zatem długości \(\lvert AB\rvert=6\), \(\lvert AD_1\rvert=3\sqrt5\), \(\lvert BD_1\rvert=9\). Sprawdzamy warunek twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa:
\[\lvert AB\rvert^2+\lvert AD_1\rvert^2=36+45=81=\lvert BD_1\rvert^2.\]
Suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego, więc trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny, a kąt prosty leży przy wierzchołku \(A\).
**Odpowiedź.** Trójkąt \(BAD_1\) jest prostokątny.
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – wyznaczenie długości przekątnej \(AD_{1}\). Odp. \(\lvert AD_{1}\rvert=3\sqrt{5}\)
**2. (1 pkt)** – wyznaczenie długości przekątnej \(BD_{1}\). Odp. \(\lvert BD_{1}\rvert=9\)
**3. (2 pkt)** – uzasadnienie, że trójkąt \(BAD_{1}\) jest prostokątny na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. \(1\) punkt przyznajemy za zapisanie równości \(\lvert AB\rvert^{2}+\lvert AD_{1}\rvert^{2}=\lvert BD_{1}\rvert^{2}\) i jej sprawdzenie, bez powołania się na odpowiednie twierdzenie.
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
