Równania i nierówności
Zadanie 12, próbna grudzień 2022, poziom rozszerzony
Prosta \(k\) o równaniu \(x+y-9=0\) przecina parabolę o równaniu
\[y=\frac14x^2-\frac32x+\frac14\]
w punktach \(A\) oraz \(B\). Pierwsza współrzędna punktu \(A\) jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu \(B\) jest liczbą ujemną. Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(k\) i styczna do danej paraboli w punkcie \(C\).
**Oblicz odległość punktu \(C\) od prostej \(k\) oraz pole trójkąta \(ABC\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[d(C,k)=\frac9{\sqrt2}=\frac{9\sqrt2}{2},\qquad P_{ABC}=54.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Z równania prostej \(k\) mamy \(y=-x+9\). Podstawiamy do równania paraboli:
\[-x+9=\frac14x^2-\frac32x+\frac14,\]
\[x^2-2x-35=0.\]
Stąd \(x=-5\) lub \(x=7\), więc zgodnie z opisem
\[A=(7,2),\qquad B=(-5,14).\]
Współczynnik kierunkowy prostych \(k\) i \(l\) wynosi \(-1\). Dla funkcji paraboli
\[y'=\frac12x-\frac32.\]
W punkcie styczności \(C\) pochodna jest równa \(-1\), zatem
\[\frac12x_C-\frac32=-1,\qquad x_C=1.\]
Po podstawieniu do równania paraboli otrzymujemy \(C=(1,-1)\). Odległość punktu \(C\) od prostej \(k\) wynosi
\[d(C,k)=\frac{|1-1-9|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac9{\sqrt2}.\]
Długość podstawy \(AB\):
\[|AB|=\sqrt{(-5-7)^2+(14-2)^2}=12\sqrt2.\]
Zatem
\[P_{ABC}=\frac12|AB|\cdot d(C,k)=\frac12\cdot12\sqrt2\cdot\frac9{\sqrt2}=54.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawna odległość \(\frac9{\sqrt2}\) i pole \(54\)
**5 pkt** – poprawne pole albo odległość wraz ze współrzędnymi punktów \(A\) i \(B\)
**4 pkt** – obliczenie współrzędnych \(A\), \(B\), \(C\) albo odległości i poprawny układ dla punktów przecięcia
**3 pkt** – współrzędne \(A\), \(B\) i pochodna, albo punkt \(C\) oraz układ równań, albo sama poprawna odległość
**2 pkt** – współrzędne \(A\), \(B\) albo punkt \(C\), albo układ równań i pochodna
**1 pkt** – poprawny układ równań dla punktów \(A,B\) albo pochodna paraboli
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.R1 i IX.R3 posługiwanie się równaniem prostej w postaci ogólnej oraz znajdowanie punktów wspólnych prostej i paraboli.
