Prosta w układzie współrzędnych
Zadanie 36, czerwiec 2023, poziom podstawowy
W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawa \(CD\) ma długość \(5\). Punkt \(F=(3,11)\) jest środkiem odcinka \(CD\). Prosta o równaniu
\[y=-\frac43x+15\]
jest osią symetrii tego trapezu oraz \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) oraz pole tego trapezu.
Odpowiedź
\(A=\left(\frac72,2\right)\), \(P=\frac{225}{4}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oś symetrii trapezu jest prostopadła do jego podstaw. Jej współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac43\), więc prosta \(AB\) ma współczynnik \(\frac34\). Ponieważ przechodzi przez \(B=\left(\frac{23}{2},8\right)\), jej równanie ma postać
\[y=\frac34x-\frac58.\]
Punkt \(E\), w którym \(AB\) przecina oś symetrii, jest środkiem odcinka \(AB\). Rozwiązujemy układ
\[y=-\frac43x+15,\qquad y=\frac34x-\frac58,\]
i otrzymujemy
\[E=\left(\frac{15}{2},5\right).\]
Ponieważ \(E\) jest środkiem \(AB\),
\[A=2E-B=\left(15,10\right)-\left(\frac{23}{2},8\right)=\left(\frac72,2\right).\]
Długości potrzebne do pola są równe
\[|AB|=2|EB|=2\sqrt{\left(\frac{23}{2}-\frac{15}{2}\right)^2+(8-5)^2}=10,\]
\[h=|EF|=\sqrt{\left(3-\frac{15}{2}\right)^2+(11-5)^2}=\frac{15}{2}.\]
Zatem
\[P=\frac{|AB|+|CD|}{2}\cdot h=\frac{10+5}{2}\cdot\frac{15}{2}=\frac{225}{4}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawne wyznaczenie \(A=\left(\frac72,2\right)\) oraz pola \(P=\frac{225}{4}\)
**Pierwszy etap, do: 3 pkt** – 1 pkt za współczynnik kierunkowy prostej \(AB\) równy \(\frac34\); 2 pkt za \(E=\left(\frac{15}{2},5\right)\); 3 pkt za \(A=\left(\frac72,2\right)\)
**Drugi etap, do: 2 pkt** – 1 pkt za obliczenie \(|AB|=10\), \(|EB|=5\) albo \(h=\frac{15}{2}\); 2 pkt za pole \(P=\frac{225}{4}\)
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** geometria analityczna i planimetria; zdający wykorzystuje prostopadłość prostych, współrzędne środka odcinka, wzór na odległość punktów i wzór na pole trapezu.
