Geometria analityczna
Zadanie 27, czerwiec 2023, poziom podstawowy
Punkty \(A=(-1{,}5)\) i \(C=(3,-3)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole kwadratu jest równe
A. \(8\sqrt{10}\)
B. \(16\sqrt{5}\)
C. \(40\)
D. \(80\)
Odczyt redakcyjny — współrzędne zapisane jak liczba dziesiętna
Prawdopodobny zapis: \(A=(-1,5)\) — para współrzędnych, nie liczba dziesiętna −1,5; drugi wierzchołek \(C=(3,-3)\) zapisano poprawnie.
makro \(\{,\}\) rozdziela tylko pierwszą parę, sąsiednia \(C=(3,-3)\) ma zwykły przecinek; dla \(A=(-1,5)\) i \(C=(3,-3)\) przekątna kwadratu spełnia \(|AC|^{2}=(3+1)^{2}+(-3-5)^{2}=16+64=80\), a pole kwadratu o przekątnej \(d\) wynosi \(\frac{d^{2}}{2}=40\) — wariant C, zgodnie z odpowiedzią i kluczem CKE. Dystraktor D \(=80\) to właśnie \(|AC|^{2}\) bez podzielenia przez \(2\), co potwierdza, że \(A\) i \(C\) są wierzchołkami przeciwległymi, a nie jedną liczbą.
Odpowiedź
**C.** \(40\)
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty \(A\) i \(C\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu, więc odcinek \(AC\) jest jego przekątną:
\[d=|AC|=\sqrt{(3-(-1))^{2}+(-3-5)^{2}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}.\]
Pole kwadratu o przekątnej \(d\) jest równe \(\frac{d^{2}}2\):
\[P=\frac{80}2=40.\]
**Odpowiedź.** \(P=40\), czyli wariant **C**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **C**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024**
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
IX.3) Zdający oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych.
